Synteticke pozice a arbitraz

 

Mezi kontrakty futures a od nich odvozenymi opcemi plati presne, matematicky vyjadritelne vztahy. V kazdodennim, mnohdy zdanlive chaotickem, procesu obchodovani jsou tyto vztahy stale patrne, protoze jakakoli momentalni odchylka je okamzite vyuzita subjekty, ktere se zabyvaji arbitrazi.

Podivejme se na nejjednodussi, avsak veledulezity, aritmeticky vztah vladnouci mezi kontraktem futures a jeho opcemi:

F = S + Cs - Ps


F = futures
C = Premium callu
P = Premium putu
S = strike price (stejny pro call i put)
obe opce maji stejnou dobu expirace
+ znamena long
- znamena short

Vyjadreme si rovnici slovne: Nakoupime-li 1 kontrakt futures, je to totez, jako bychom v temze momentu koupili jeden call se strike price "s" a vypsali jeden put se stejnym strike price.

Neverici Tomas: To nechapu, chcete snad rici, ze kdyz ted koupim jeden kontrakt cervnove ropy tak je to totez, jako bych ted koupil treba cervnovy call se strike 37.50 a zaroven vypsal cervnovy put se strike 37.50, nebo koupil cervnovy call se strike 40 a zaroven vypsal cervnovy put se strike 40?

Odpoved: Ano, je to presne tak. Zamyslime-li se dobre nad vlastnostmi opcniho premia a jeho vztahem ke strike price a momentalni cene podkladoveho aktiva, nemuze nas to prekvapit. Dokazme si to naprikladech. Podivejme se na soucasnou cenu napr. cervnove ropy a zaroven si zjisteme ceny zminenych opci. Uvidime tato cisla:

Cena futures: 36.46

37.50C = 0.86

37.50P = 1.90

40.00C = 0.28

40.00P = 3.82


Z duvodu jasnosti a dokazatelnosti vychazejme z toho, ze pozice drzime az do vyprchani opci, protoze jiz nyni, pro ucely naseho prikladu, muzeme nade vsi pochybnost presne urcit cenu opci v zavislosti na cene futures v momentu vyprchani opci. Bid/ask a komise v prikladech ignorujeme.
Otevreme si tyto tri pozice (o kterych tvrdime, ze jsou identicke):

Pozice A.
Nakup 1 kontrakt futures @ 36.46

Pozice B
Nakup 37.50Call @ 0.86
Prodej 37.50 Put@ 1.90

Pozice C
Nakup 40.00Call@ 0.28
Prodej 40.00 Put @3.82
--------------------------------------------------------------
Nyni se podivejme, jaky bude zisk/ztrata z pozic pokud ropa mirne podrazi, vyrazne oslabi a vyrazne posili:


Pokud v den vyprchani opci je cena futures kontraktu 37.00, jaky bude zisk/ztrata z nasich pozic?

Pozice A: 37.00 - 36.46 = 0.54 =  Celkovy zisk $540

Pozice B:
37.50 Call vyprchal bezcenny, ztratili jsme na nem 0.86 = ztrata $860.
37.50 Put ma nyni premium 0.50. My jsme jej vypsali za 1.90, vydelali jsme na nem 1.40 = $1400
Celkovy zisk z pozice = 1400 - 860 = $540

Pozice C:
40.00 Call vyprchal bezcenny, ztratili jsme na nem 0.28 = $280
40.00 Put ma nyni premium 3.00. My jsme jej vypsali za 3.82, vydelali jsme na nem .82 = $820
Celkovy zisk z pozice = 820 - 280 = $540

Vsechny tri pozice vydelaly stejnou sumu $540.
-----------------------------------------------------------------------

Pokud v den vyprchani opci je cena futures kontraktu 29.00, jaky bude zisk/ztrata z nasich pozic?

Pozice A: 29.00 - 36.46 = -7.46 = Ztrata $7460

Pozice B:
37.50 Call vyprchal bezcenny, ztratili jsme na nem 0.86 = ztrata $860.
37.50 Put ma nyni premium 8.50. My jsme jej vypsali za 1.90, prodelali jsme na nem 6.60 = $6600
Celkova ztrata z pozice = 860 + -6600 = $7460

Pozice C:
40.00 Call vyprchal bezcenny, ztratili jsme na nem 0.28 = $280
40.00 Put ma nyni premium 11.00. My jsme jej vypsali za 3.82, prodelali jsme na nem 7.18 = $7180
Celkova ztrata z pozice = 280 + 7180 = $7460

Vsechny tri pozice prodelaly stejnou sumu $7460.
----------------------------------------------------------------------------
Pokud v den vyprchani opci je cena futures kontraktu 45.00, jaky bude zisk/ztrata z nasich pozic?

Pozice A: 45.00 - 36.46 = 8.54 = Zisk $8540

Pozice B:
37.50 Call ma nyni premium 7.50. Koupili jsme jej za 0.86, vydelali jsme na nem 6.64 = zisk $6640
37.50 Put vyprchal bezcenny. My jsme jej vypsali za 1.90, vydelali jsme na nem 1.90 = zisk $1900
Celkovy zisk z pozice = 6640 + 1900 = $8540

Pozice C:
40.00 Call ma nyni premium 5.00. Koupili jsme jej za 0.28, vydelali jsme na nem 4.72 = zisk $4720
40.00 Put vyprchal bezcenny. My jsme jej vypsali za 3.82, vydelali jsme na nem 3.82 = zisk $3820
Celkovy zisk z pozice = 4720 + 3820 = $8540

Vsechny tri pozice vydelaly stejnou sumu $8540.
-------------------------------------------------------------------------------

Dokazali jsme , ze plati vyse zminena rovnice. Pro prehlednost si ji zopakujme:

F = S + Cs - Ps

Vypustime Hodnotu S (strike price) a budeme operovat pouze s futures a jeho opcemi.

Zustava nam rovnice F = Cs - Ps

S pomoci matematiky pro ctvrtou tridu obecne skoly z ni muzeme odvodit dalsi, pro mnohe znacne sokujici, poznatky:

Pokud plati F = Cs - Ps, musi preci platit i napr. Ps = Cs - F. Nebo Cs = F + Ps, atd.
Tim se dostavame k nasledujici tabulce:

 

F	=	Cs - Ps
Long futures. Nakup kontraktu futures	je totez jako	nakup callu a prodej (vypsani) putu s tymz strike
- F	=	Ps - Cs
Short futures. Prodej kontraktu futures	je totez jako	nakup putu a prodej  (vypsani) callu s tymz strike
Cs	=	F + Ps
Long call. Nakup callu se strike s	je totez jako	nakup futures a nakup putu se strike s
- Cs	=	- F - Ps
Short call. Prodej (vypsani) callu se strike s	je totez jako	prodej futures a prodej (vypsani) putu se strike s
Ps	=	Cs - F
Long put. Nakup putu se strike s	je totez jako	nakup callu se strike s a prodej futures
- Ps	=	F - Cs
Short put. Prodej (vypsani) putu se strike s	je totez jako	nakup futures a prodej (vypsani) callu se strike s

Synteticke pozice

Rovnic uvedenych v tabulce lze vyuzit ruznymi zpusoby. Financni alchymista aplikuje vyse uvedenych ekvivalnci k vytvareni tzv. syntetickych pozic a pri arbitrazi.
Syntetickou pozici, zjednodusene receno, se rozumi pozice, ktera vykazuje stejny profil zisk/ztrata jako pozice P, ale je zkonstruovana z financnich instrumentu ruznych od P. Napr nakup futures plus nakup putu je synteticky long call, prodej putu a nakup callu je vlastne nakup syntetickeho futures atd.

Arbitraz.
Arbitrazi v tomto pripade nemam na mysli pravni procesy, pri nichz nektere vlady promrhavaji baliky penez, ktere hamizne a legalne zkonfiskovaly formou dani z kapes bezmocnych danovych poplatniku, nybrz financni arbitraz, tedy to, co je nekdy definovano jako "bezrizikovy zisk realizovany vyuzitim cenovych disproporci mezi vzajemne zastupitelnymi financnich instrumenty".

Priklad:
Rekneme, ze na Mendelejevove atomove burze se jeden atom vodiku (H) obchoduje za 1 gros, jeden atom kysliku (O) za 3 grose a jedna molekula vody (H2O) za 4 grose. Pro zjednoduseni predpokladame, ze slucovaci proces pri vyrobe vody je gratis. Kdyz arbitrageur-zralok zmerci ceny uvedenych tri instrumentu, jeho dravcimu oku neunikne nadherna prilezitost k realizaci tucneho zisku. Melo by totiz platit toto:

2 x H + 1 x O = 1x H2O.

Jenomze to neplati. Momentalne panuje tato cenova nerovnost:

2H + O > H2O

2H + O stoji dohromady 5 grosu kdezto vodenka H2O pouhe 4 grose. Zralok bez mrknuti sveho ukrutneho ocka zaujme tuto pozici:

Long 1 milion H2O
Short 2 miliony H
Short 1 milion O

Drive nebo pozdeji dojde trh do "logickeho" stavu, kdy jedna voda stoji totez co 2 vodiky a 1 kyslik. Az se tak stane (a ze se tak stane, o tom neni pochyb), zralok uzavre pozice a zrealizuje zisk 1 milion grosu.

Stejnym zpusobem postupujeme, vladne-li nerovnost mezi F, Cs a Ps. Napriklad jednoho krasneho dne vidime, ze panuje vztah

F > Cs - Ps

Tato nerovnice nerika nic jineho nez toto: Futures je drazsi nez synteticky futures. Jejich cena vsak drive nebo pozdeji bude ekvivalentni.
Vyuzijeme toho k vlastnimu obohaceni tak, ze prodame futures a koupime synteticky futures a tesime se, ze se jejich cena vyrovna. Zaujememe pozici short v leve (drazsi) strane rovnice a pozici long v prave (levnejsi strane rovnice):

Short F
Long Cs
Short Ps

Az se ceny vyrovnaji, vse uzavreme a vyinkasujeme zisk.
----------------------------

Panuje-li nerovnost opacna

F< Cs - Ps

postupujeme presne opacne, koupime levnejsi futures a prodame predrazeny synteticky futures:

Long F
Short Cs
Long Ps

Muzeme si s tim pohravat i jinak a nahradit F opcemi Cx a Px, pro ktere plati F = Cx - Px a zaujmout pozici slozenou ze ctyr opci:

Long Cx
Short Px
Short Cs
Long Ps

A ejhle! Mame dva vertikalni spready, jeden zkonstruovany z callu a jeden z putu.
----------------------------
Je velmi dulezite si uvedomit, ze od momentu otevreni popsanych pozic nas jiz nezajima, kam se pohybuje cena podkladoveho aktiva. Nejsme ani medvedi ani byci ( jsme preci zraloci ;-) a zajima nas pouze vzajemny cenovy vztah mezi jednotlivymi komponenty pozice.Cekame az se trh dostane do logickeho stavu a pak pozici uzavreme namastic si kapsu.


Prakticka poznamka: Vytvoreni arbitrazniho zisku na zaklade momentalni nerovnovahy v cenach jednotlivych instrumentu je v realnem obchodovani jen velmi, velmi obtizne uskutecnitelne, protoze existuji zadrhele a dodatecne naklady zpusobene napr. rozpetim bid/ask, slippage nebo komisnimi poplatky nehlede na tzv arbitrazni rizika spojena napr. s uzaviranim pozic atd.

J.Kos